集合
１．集合とは
集合とは、要素と呼ばれるものの集まり
Sが集合で、xがSの要素であるときは、x∈Sと書く
2.集合の表現
要素 x, y,zからなる集合Sは、次のように表現する
S={x, y,z}
要素のない集合は、空集合とよばれ、Φで表される
3.集合の性質
要素は重複しない
要素に特定の順序はない
4．部分集合
AとBが集合であり、Aのすべての要素がBの要素であるとき、AはBの部分集合であるという
部分集合は、A⊆Bで表す
5．べき集合
集合Sのすべての部分集合のあつまりを、Sのべき集合という
たとえば、S={a,b}とすると、Sのべき集合は、
Power(S)={Φ,{a},{b},{a,b}}
となる。
6．集合の和
・2つの集合A,Bの和は、AかBに含まれる、あるいは、
その両方に含まれるすべての要素からなる集合
・A∪Bと表す
・次のように表現される
A∪B = { x | x ∈A または y ∈ B}
7．和集合の性質
(1)A∪Φ = A
(2)A∪B = B∪A
(3)A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
(4)A∪A = A
(5)A∪B = B であり、かつそのときに限り、 A⊆B
8.集合の積
・2つの集合AとBの積とは、AとBの両方に含まれる要素すべてからなる集合
・A∩Bと記される
・次のように表現される A∩B = { x | x ∈A かつ y ∈ B}
・A∩B = Φの場合、AとBは、互いに素である。という
9.積集合の性質
(1)A∩Φ = Φ
(2)A∩B = B∩A
(3)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
(4)A∩A = A
10.差集合
・AとBの差集合とは、Aの要素でBに含まれないものの集合
・A - Bと表現される
・A - B={x | x∈A かつ x "B }と定義できる
・A = { a, b,c }で、B = { c,d }とすると、A - B = {a,b}となる
11.補集合
・すべての集合が、その部分集合となる集合を、全体集合という
・全体集合を U とすると、差 U - A を、Aの補集合といい、A′と記す
12.ドモルガンの法則
・（A U B)′ = A′∩ B′
・（A ∩ B)′ = A′U B′
13.集合の濃度
・集合の濃度とは、要素の数のこと
・Sを集合とすると、｜S｜で表す
・S={a,b,c}とすると、｜S｜=3 となる
14.集合のデカルト積
・A,Bを集合とする。
・AとBのデカルト積A×Bは、次のように定義される。
A×B={(a,b) |a ∈A かつ b ∈B }
